r=(1+fb)p×(1−fa)q
양 변에 로그를 취하면,
log⁡r=plog⁡(1+fb)+qlog⁡(1−fa)logr=plog(1+fb)+qlog(1−fa)
미분하였을 때 0이 되는 f가 극값을 가지게 되므로 이를 f에 대해 미분하면
0=pb(1+fb)−qa(1−fa)0=(1+fb)pb​−(1−fa)qa​

pb(1+fb)=qa(1−fa)(1+fb)pb​=(1−fa)qa​

pb×(1−fa)=qa×(1+fb)pb×(1−fa)=qa×(1+fb)
이를 f에 관해 정리하면 널리 알려진 켈리 방정식인 것이다
pb−pb×fa=qa+qa×fbpb−pb×fa=qa+qa×fb

pa−pf=qb+qfap​−pf=bq​+qf

pa−qb=(p+q)f=fap​−bq​=(p+q)f=f

f=pa−qbf=ap​−bq​
여기서,

  • ff : 베팅규모(보유자금 대비 베팅금액의 비율)

  • aa : 순손해률(1원을 베팅하고 패배할 경우 순손해 a원)

  • bb : 순이익률(1원을 베팅하고 승리할 경우 순이익 b원)

  • pp : 승리 확률

  • qq : 패배확률(1−p1−p)