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이 글에서는 정수론의 유명한 난제들에 대해서 소개하려고 해. 수학에는 정말 수많은 난제들이 있는데,  이들 중 대부분은 문제 해결은 커녕, 전공자가 아니라면

 

문제를 이해하는 것도 쉽지 않은 경우가 많아. 하지만 이 글에서는 수학에 관심없는 게이도 쉽게 이해할 수 있는 문제만 소개하려고 했어. 근데 그런 문제는 주로

 

정수론에 많기 때문에, 아예 정수론의 유명한 난제들을 소개하기로 했어.

 

[1] 페르마의 마지막 정리  [1637년(추정)에 페르마에 의해서 제기됨. 1994년도에 앤드류 와일즈에 의해서 해결]

 

'xⁿ + yⁿ = zⁿ  n이 3이상의 정수일때, 이 방정식을 만족하는 양의 정수해 x,y,z는 존재하지 않는다.'

피에르 드 페르마 (문제 제기)                                         앤드류 와일즈 (문제 해결)

 

아무리 수학을 싫어하는 게이도 피타고라스의 정리정도는 알고 있겠지? 페르마의 마지막 정리는 피타고라스의 정리를 확장한 것이라고 할 수 있어.

페르마는 판사였지만 수학에도 조예가 깊었는데, 여느 날 처럼 수학연구를 하다가, 방정식 xⁿ + yⁿ = zⁿ 에서, n=2일 때, x,y,z는 무수히 많은 해를 가지지만,  n이 

 

3이상의 정수라면 x,y,z를 만족하는 해는 없다는 사실을 발견해.그리고는 자신이 공부하던 책(디오판토스의 '산학Arithemetica')의 여백에 아래와 같은 메모를 남겨놔.

 

"xⁿ + yⁿ = zⁿ  n이 3이상의 정수일 때, 이 방정식을 만족하는 정수해 x,y,z는 존재하지 않는다. 나는 경이적인 방법으로 이 정리를 증명했다.

그러나 이 책의 여백이 너무 좁아 여기 옮기지는 않겠다."

 

참고로, 양의 정수해 x,y,z라고 하는 것이 정확하지. 단순히 x,y,z가 정수라면, (x,y,z)=(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)이라는 해가 있으니까. 

어쨌든 페르마는 위 같이 주장했는데, 그것을 직접 발표하지는 않았고, 페르마 사후에 아들이 아버지의 메모가 적힌 '산술'을 출판하게됨에 따라 세상에알려져. 

사실 페르마는 위의 메모처럼 자신의 발견한 내용을 증명없이 메모로 남겨놓곤 했기 때문에, 페르마의 메모들이 세상에 알려지자 수학자들은 페르마의 여러가지 

 

정리들을 엄밀하게 증명하는 일을 시작해. 결국 페르마가 남긴 대부분의 증명없는 정리들이 증명되는데, 유독 이 정리만은 증명되지 않고 마지막으로 남게 되었어.

 

그래서 이 정리를 페르마의 마지막 정리라고 불러. 곧 이 문제는 유명세를 타게되고, 오일러를 비롯한 수많은 천재 수학자들의 도전을 받게되지.

(당시 출판된 책에 적혀있는 페르마의 메모야)

 

n=3일 때는 오일러가, n=5일때는 디리클레가, n=7일 때는 르장드르가 증명에 성공해. 하지만 모두 부분적으로만 성공한 것일뿐,  n이 3이상인 정수일때 항상 성립

한다는 것을 증명한 사람은 없었어. 이 문제는 350년 넘게 풀리지 않으며 악명을 떨치다가 마침내 프린스턴 대학교수인 앤드류 와일즈에 의해서 증명돼. 사실 

 

처음에 발표할 때는 증명에 오류가 발견됐었고, 제자와 함께 수정을 거쳐서 완전한 증명에 성공하게 돼. 다만 그때에는 이미 와일즈의 나이가 40이 넘어서 필즈

메달은수상하지 못하게 됐어. 과연 페르마가 정말로 '경이로운 증명법'을 발견했을까? 사람마다 다르게 생각하겠지만, 아니라는 의견이 지배적이야. 페르마의 

메모를 보면, 위 메모를 적고 나서 시간이 흐른 후 n=4,5인 경우를 증명하려고 노력했다는 사실을 알 수 있다고 해. 만약 페르마가 정말로 일반적인 증명법을 

발견했다면 굳이 특별히 n=4,5인 경우에 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것을 증명하려고 시간과 노력을 투자하진 않았겠지? 메모를 적을 때는 자신이 정말

증명을 해냈다고 믿었을 테지만 나중에 증명에 오류가 있다는 사실을 발견했겠지. 하지만 굳이 옛날의 메모를 수정할 필요성은 느끼지 못했을거야. 페르마 자신은

 

원래 그 메모들을 출판할 생각이 없었으니까. 참고로, abc추측이라는 정수론 난제가 있는데,(그 추측은 이 글에서는 설명하지 않을거야) 이 추측이 참이면

 

페르마의 마지막 정리도 참이라고 증명된 상태야. 근데 비교적 최근에 모치즈키 신이치라는 일본의 수학자가 abc추측을 증명했다고 주장했어. 그의 논문은 현재

 

심사 중에 있어. 만약 그가 abc 추측을 맞게 풀었다면, 페르마의 마지막 정리도 증명한 셈이 되니까 페르마의 마지막 정리를 증명한 사람은 앤드류 와일즈 외에도

 

한 명 더 있게 되는 셈이지.  참고로, 오일러의 추측이라는 것도 있어. 페르마의 마지막 정리를 변형한 건데, '방정식 aⁿ + bⁿ  + cⁿ =  dⁿ은 n이 4이상의 정수일 때

 

양의 정수해a,b,c,d를 갖지 못한다'는거야. 이건 하버드 대학교수인 노암 엘키스에 의해 거짓임이 증명됐어.

 레온하르트 오일러 (문제 제기)                         노암 엘키스 (문제 해결)

 

만약 페르마의 마지막 정리에 대해서 더 잘 알고 싶은 게이가 있다면 아래 동영상을 보기를 추천할게. 페르마의 마지막 정리에 대해 다룬 BBC 다큐멘터리야. 

 

책으로도 출판된 훌륭한 다큐멘터리야. 

 

[2] 골드바흐의 추측 [1742년 골드바흐에 의해서 제기됨. 미해결]

 

'2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현될 수 있다.'

 

크리스티안 골드바흐 (문제 제기)

 

1742년, 골드바흐는 저명한 수학자인 오일러에게 편지를 보내. 오일러에게 보낸 편지에는 골드바흐가 제기한 세가지의 가설이 적혀 있었어. 첫번째 가설은

 

'두 소수의 합으로 표현될 수 있는 모든 정수는, 모든 항이 1이 될 때까지 원하는 만큼 얼마든지 많은 개수의 소수의 합으로 표현할 수 있다'야.

 

두번째 가설은 '2보다 큰 모든 정수는 세개의 소수의 합으로 표현될 수 있다'야. 이 두개의 가설은 동치라고 해. 참고로, 골드바흐는 1을 소수로 간주했는데,

 

이 개념은 현대에 와서 폐기되었어. 그래서 현대 수학의 개념으로 두번째 가설을 표현하면 다음과 같아: '5보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 표현가능하다.'  

 

 오일러는 골드바흐의 편지에 답장하면서 골드바흐가 제기한 가설을 '2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현될 수 있다.' 라고 바꾸어서 표현해.

 

 이 추측은 원래 골드바흐의 추측을 포함해. 왜냐하면, 이 추측이 참일 경우, 모든 5보다 큰 홀수는 짝수 +3의 형태로 표현할 수 있고, 모든 5보다 큰 짝수는 짝수+2의

 

형태로 표현할 수 있기 때문이야. 이 추측이 바로 널리 알려진 골드바흐의 추측이야. 이를 강한 골드바흐의 추측이라 하기도해. 약한 골드바흐의 추측도 있어.

 

'7이상의 모든 홀수는 세 소수의 합으로 표현가능하다.' 이게 약한 골드바흐의 추측인데, 만약 강한 골드바흐의 추측이 참이라면 약한 골드바흐의 추측도 참임을

 

증명할 수 있어. 약한 골드바흐의 추측이나 강한 골드바흐의 추측이나 아직 증명되지 못하고 있어. 컴퓨터로  n ≤ 4 × 10¹⁸ 경우까지 성립함을 확인했다고해.

 

참고로, 아래 그림은 어떤 짝수 n을 두 소수의 합으로 나타내는 방법의 수를 나타낸 그래프야. 

 

 

[3] 홀수인 완전수 추측 [니코마코스에 의해서 제기됨. 미해결]

 

'모든 완전수는 짝수이다.'

니코마코스 (문제 제기)

 

완전수란, 자기자신을 제외한 양의 약수들의 총합이 자기 자신과 같아지는 자연수를 말해. 예를 들어, 6의 약수는 1,2,3,6이잖아? 여기서 자기자신인 6을 제외한

 

나머지 약수들인 1,2,3을 모두 더하면 6이 돼. 이런 종류의 수를 완전수라고 하는거야. 자기 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신보다 큰 수를 초과수, 자기자신

 

보다 작은 수를 불완전수라고해. 예를 들자면, 12의 약수는 1,2,3,4,6,12인데, 여기서 12를 제외한 나머지 약수를 모두 더하면 16이 돼서 원래 수인 12보다 크지.

 

따라서 12는 초과수야. 15의 약수는 1,3,5,15인데, 15를 제외한 약수를 모두 더하면 9가 돼. 따라서 15는 불완전수이지. 조금만 생각해보면 알 수 있듯이, 완전수는

 

극히 적어. 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056 순으로 나타난다고 하니, 그 수가 정말로 적다고 할 수 있지. 완전수의 갯수가 무한히 많은지는 아직 밝혀지지

 

않았어. 골드바흐의 추측에서 등장했던 오일러가 여기서도 등장해. 오일러는 'n이 짝수 완전수일 필요충분조건은 n=2^p−1(2^p−1)이다'라는 것을 증명해. 이때, p는

 

2이상의 정수이고, 2^p−1는 소수이어야 해.  그럼 자연스럽게 이런 의문이 떠오를 거야. 그럼 홀수인 완전수는?? 홀수인 완전수가 존재할까?

 

그리스의 수학자 니코마코스는 모든 완전수는 짝수라고 추측을 해.  그리스의 수학자가 제기한 문제는 아직까지도 풀리지 않고 있어. 근데 그런 것

 

치고는 문제의 지명도가 낮은 편이야.

 

[4] 쌍둥이 소수 추측 [누가 제기했는지 도저히 찾을 수가 없다ㅜㅜ 미안. 혹시 정보 가지고 있는 게이가 있다면 댓글로 알려줘ㅜㅜ. 미해결]

 

 ' p+2가 소수인 소수 p가 무한히 많이 존재한다.'

 

(2,3)의 경우를 제외하면, 두 소수의 차가 가장 작은 경우는 차가 2인 경우야. 만약 두 자연수의 차가 1이라면 둘 중 하나는 반드시 짝수인데, 2를 제외하면,

 

짝수인 소수는 없기 때문이야. 따라서 두 소수의 차가 가장 작은 경우는 2이지. 이렇게 차가 2인 두 소수를 쌍둥이 소수라고 불러. (3,5) ,(5,7), (11,13) 등등

 

그런데 이 쌍둥이 소수가 무한한지는 아직 밝혀지지 않았어.  아마 정황상 무한히 많지 않을까 예측되고 있긴 하지만 말야. 컴퓨터로 확인한 결과, 10¹⁸

 

아래로 808,675,888,577,436개의 쌍둥이 소수가 있다고 해. 하지만, 몇가지 진전은 있었어. 대표적으로, 중국의 수학자 천징룬의 업적이 있어. 그에 의해서

 

무한히 많은 p에 대하여, p+2는 소수이거나 두 소수의 곱으로 표현될 수 있다고 증명되었어. 

 

[5] 르장드르의 추측  [르장드르에 의해 제기됨. 미해결]

 

 르장드르 (문제 제기)  (참고로, 인터넷에 치면 나오는 잘생긴? 르장드르는 수학자 르장드르가 아니라 정치가 르장드르다. 다른 사람임)

'모든 자연수 n에 대하여, n² 과  (n + 1)²  사이에는 소수가 적어도 하나 존재한다. '

 

르장드르의 추측은 1912년 국제수학자회의에서 발표된 란다우의 문제 중 하나이기도해. 앞서 설명한 골드바흐의 추측이나 쌍둥이 소수 추측도 모두

 

란다우의 문제  중 하나야. 르장드르의 추측은 다른 추측들보다는 인지도가 떨어지는 편이지만 그래도 꽤 흥미로운 추측임에 틀림없어.  마치 n과 2n사이에는

 

반드시 소수가 존재한다는 베르트랑의 공준을 연상시키는 르장드르의 추측을 증명하기 위해서는,  어떤 소수 p와 그 다음 소수 q사이의 갭은  p√2 이하라는 것을

 

증명하면 돼.  10¹⁸까지 이 갭이 성립한다는 것이 확인되었어. 하지만 무한히 많은 n에 대해서 르장드르의 추측이 성립하는지는 아직 증명되지 않고 있어.