먼저 효소를 E, 기질을 S, 생성물을 P라고 표현하고 일반적인 반응식을 써 보자.

 

E + S <=> [ES] --> P

 

이중화살표는 가역반응임을 나타낸다. 즉, 반응이 역으로도 갈 수 있다는 뜻이다. [ES]는 효소와 기질이 결합하고 있는 전이상태를 뜻한다. 이를

효소-기질 복합체라고 부른다. [ES]-> P 반응은 거의 비가역적이라 역반응은 대개 무시할 수 있다.

 

이제, 각 단계의 속도상수를 알아보자. 이중화살표의 => 의 속도상수를 k1, <=의 속도상수를 k-1 이라 하고, ---> 의 속도상수를 k2라 하자.

그러면, 이제 속도식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

 [ES]의 순  생성속도 =  [ES]의 생성속도 - [ES]의 분해속도 = k1[E][S] - k-1 [ES] -  k2[ES]

 

그리고, [ES]의 순 생성속도 v = d[ES]/dt 가 된다.

 

이제,  d[ES]/dt = k1[E][S] - k-1 [ES] -  k2[ES] 라는 미분방정식을 풀면, [ES]에 관한 식을 얻을 수 있게 된다. 그리고, 생성물 P의 생성속도 v는

 

 k2[ES] 로 쓸 수 있고, [ES]라는 식을 [E]와 [S]에 관한 식으로 얻어서 대입하면 v를 구해낼 수 있다. 그러나 이러한 미분방정식을 푸는

 

것은 다소 복잡한데, 다행히 전이상태에 있는 [ES]의 농도는 초기와 종말점을 제외하면 반응이 일어나는 동안 일정하게 유지된다는 가정, 즉,

 

d[ES]/dt =0 이라는 가정을 할 수 있고, 이로부터 미분방정식을 푸는 수고를 덜 수 있다. 이러한 가정을 <정상상태 근사(steady-state approximation

 

)> 라 한다.

 

이제,  k1[E][S] - k-1 [ES] -  k2[ES] =0 이라는 식을 풀면 된다. 그러면, [ES] =  k1[E][S]/( k-1 +  k2) 가 된다. 이 때, 속도상수로만 이루어진

 

( k-1 +  k2)/k1은 일정하므로 이를 KM 이라 놓을 수 있다. 그러면, KM [ES] = [E][S]가 된다.

 

 

여기서 또 한가지 조작을 해 줄 필요가 있다. [E]가 유리효소의 농도이므로 [ES]에 관한 식으로 바꿔줘야 하기 때문이다.

 

전체효소 농도 ET = [E] + [ES] 이므로, [E] = ET - [ES] 가 된다. 이를 식에 대입할 수가 있다. 그러면,

 

KM [ES] = [E][S] = ( ET - [ES] ) [S] 가 된다. 이를 [ES]에 대해 정리하고 v에 넣어주면,

 

v = k2 ET[S]/(KM +[S]) 라는 식을 얻을 수 있다.

 

 

이때, k2 ET 은 S가 E에 최대로 결합했을 때, 즉 전체 효소가 반응에 참여했을 때의 반응 속도를 의미하므로, 이를 Vmax라고 쓸 수 있다. 즉,

 

구하고자 하는 속도식은,

 

v = Vmax [S]/(KM +[S]) 로 쓸 수 있다. 이를 미하엘리스 - 멘텐 속도식이라 한다. 라인위버-버크 그래프를 그리면 선형의 그림을 얻을 수 있다.

 

(저해제의 존재에 따라 이 식은 얼마든지 달라질 수 있지만, 유도하는 논리는 위와 비슷하므로 생략한다.)