토포스, 헤겔

님들아글마저올릴게 머리좀비우게
내가 자폐아스퍼거라 좀 내 기준에서 설명하는데, 내가 그러고싶어서 그러는 건 아니고 그냥 내가 자폐병신이라그래 
혹시몰라서 굵은글씨 좀 그어둿어 그거 중심으로 읽으면 좀 편할거야

'용어'를 이해하려하면 대가리만 아퍼 진짜임
그냥 '느낌'으로 느끼면 돼. 개븅신같은 말이긴한데 하다보면 돼
물론 그 느낌은 사람마다 스타일에 따라 다를 거고 자기만의 방식대로 읽으면 그게 좋은 거임 머 논문쓸것도아니고..

쭉 읽다가.. "뭐 어쩌라는 거야?" 싶으면 존나 잘 읽고 있는 거야. 원래 좆같은 비주류 이론들이 다그래 씨빨

어제 토포스 얘기했다 그치?
ㅡ링크 : https://www.ilbe.com/view/11623281193

ㅡ토포스는 진리를 고전 논리와는 다르게, open set이라는 작은 국소적 영역 또는 [맥락]에 따라 참과 거짓의 기준이 달라질 수 있는 논리 공간으로 봐. 개체별 인식의 필터링과 결부지어 생각할 수도 있을 거야. 그러나 토포스, 그리고 층(Sheaf)의 본질은 이것들이 위상수학적인 프레임 위의 관계 규칙에 따라 전역적인 객관적 진리로 풀처럼 이어져서 승격될 수 있다는 것이 핵심이야 기억해줘.

ㅡ그 국소-전역을 승격시키는 풀이라는 게, 논리의 무모순성, 또는 우리의 여러 오감? 자극을 자동으로 종합하는, 세계 자체에 내장된 어떤 본성에 의거한다고 나는 생각해. 보편 지식을 추론하게 하는 원리가 세계에 원래 내장되어있는 거야.

ㅡ사실, 토포스를 고전화하는 건 '이중부정 층화(Double negation sheafification)'라는 걸 거쳐. 집합론에서는 강제법(forcing)이라고도 부름. 애당초 강제법이 그냥 sheaf 위에서 볼 수 있거든.
이건 간단히 말해서 위상적으로 조밀한, dense subset만 전부 필터링해서, 공간에서 조밀하지 않고 듬성듬성잇는 애들은 걍무시하겟다는 거야. 

ㅡ왜 고전 논리로 세상을 설명하지 않고 그 너머의 토포스부터 시작해서 토포스ㅡ>(조밀 필터링)ㅡ>고전논리세계로 세계 인식을 나누겠다는 걸까?

ㅡ칸트는 형이상학적 문제들ㅡ우주의 유한/무한 여부, 세계의 시작과 끝ㅡ에 대해 논하면서 [이거 아니면 저거]라는 진리 판단이 한계에 봉착함을 보인 적이 있어. 애당초 고전 논리가 주로 언급되는 [집합] 자체가 괴델에 따르면 불완전하고 말야. 반대로, 토포스는 수많은 맥락별 참/거짓만 있고 실제 진리 판단이 Yes/No로 고정되지 않아. 그러한 맥락별 진리들의 연속적 흐름만 있는 대신에, 적어도 그것들이 서로 상호작용하며 보편 지식으로 승격되는 흐름의 '과정'이 토포스 위에서 진행돼. 여기서 물리학의 시간 진화를 느끼는 사람들도 있을 거고, 맞아, 나도 그런 느낌을 좀 받았고, 이게 내가 세계를 토포스로 보려는 주요 이유 중 하나야.

ㅡ토포스는 반-이성이 아니야. 이성의 해체 연습에 가까워. 요컨대, '진리같은 건 없고 다 맥락과 주체적 인식 속의 참/거짓이다' 같은 무한해체와 전복이 아니라, 보편 진리는 있지만 그걸 고전 논리로 접근하는 대신 맥락별 진리의 흐름의 '끝'으로 보겠다는 거야. 이미 헤겔 느낌나지? 



이건 나중에 우주의 역사 자체는 자유로운 무한한 경로의 선택이 가능하지만 그 끝은 반드시 필연적으로 정해져있다는
머랄가 헤겔 느낌의 신학적 종말론으로 썰이 이어지기도 해. 물론 그 증명은 개인적으로 위상수학 처박은거라 여기에 올리면 좆노잼되고 욕처먹어
어쨋든 세계가 유니터리성과 그것을 전제로 하는 인과율 등이 완벽하게 보호되려면 결국 어떤 궁극적인 보편 질서가 하나 반드시 존재해야 하거든. 

가능성의 필연으로의 귀결이랄까.. 괴델이 신 존재 증명할 때 시도한 방법도 그런 쪽이었구. [결국은 그렇게 된다] 느낌.
근데 그게 인간에게 부정적인 느낌보다는 세계적이고 우주엔딩 어쩌고 느낌인 거임.

ㅡ다시 토포스 얘기하자. ..그러나 그 흐름은 세계 자체가 토포스로서 내장되어있는 원리라서, 우리가 고전논리적 판단(실제로는 토포스의 맥락적 국소 진리)을 뭐 어떻게 할 거 없이 그냥 부정-부정-부정-부정.. 하다보면(고전 논리에서는 부정-부정을 해도 원래대로 돌아오니 이런 부정의 창조 운동이 안됐었던거임) 계속 제3의 판단으로 정보량의 흐름이 생기면서 저절로 역사가 움직여져. 붓다처럼 일단 detach하면, 빈 공간을 새로운 시야가 채우고.. 공허에 놓인 의식을 우주의 헤겔적 흐름이 알아서 끌고올라가고 다시 이성이 그걸 붙잡고 무한반복하는 과정인 거야.



헤겔말대로 세계 설명하려면 고전 논리 박살내서 [참/거짓], [존재/부재], [여기잇쇼/여기말고저기잇쇼] 이딴 판단 틀 고정 부수면서
부정-부정-부정.. 운동만 ㅈㄴ하면서 정신 진화하는
직관주의 논리(or 알고리즘 관점에서 구성주의 수학)가 어울릴 거야 내 망상임 씨빨 근데 순수 세계 자체는 그런 식으로 흐르는 것에 가까워 수학적으로나 물리적으로나

근데 철학이나 윤리 입장에서는 이 부정의 운동이 결코 주체 개인만으로는 불가능하고 타자를 동반해야 해.
그래서 거기서부터 인간이 외부세계(현실, 타인)와의 상호작용과 열려있는 '대화'를 통해서만 나아갈 수 있다는 어쩌고 느낌의 얘기도 이어짐. 이건 근데 수학이랑은 별개. 내 연구 파일보면 윤리나 도덕 얘기도 좀 생각보다 많이 잇어 관심잇으면 봐줘.. 걍 다운로드 받아두고 아주 나중에 봐도 돼 



ㅡ이걸 물리랑 연결하면(물론 내 개인작업들에서 통용될뿐이지만) 엔트로피로 볼 수 있을 거야. 엔트로피 자체가 그냥 정보 이론에서 변화와 통계적 양상을 기술하는 개념이거든. 우주에는 엔트로피가 최대에 이르면 끝난다는 헤겔적인 [끝, 엔딩]의 대응이 있고, 다만 그 과정에서 역사 보존과 replay(그 해석은 별개로 여러개임)를 가능케하는 '유니터리성'이 우주에서 성립하는지는 별개의 수학적 문제야. 물론 양자역학 자체가 유니터리성을 공리처럼 삼고있긴하지만, 그걸 위협하는 가능성들이 우주에는 있거든. 내 연구 관심사도 처음에는 이쪽이었고.
 

ㅡ잠깐 그럼 좀 수학얘기할까? 대수기하학과의 예상치 못 한 관계로 20세기에 빅떡밥이었던 호지 이론에 대해 말해볼게. 호지 이론 어쩌고나 복소 미분형식 이런 거는 전자기학 같이 물리쪽에서 주로 나오는 수학적 테마야. 이게 대수기하학이라는 완죤 개쓸모없어보이는 순수수학이랑 연결되어있다는 떡밥이었던 거야.

일단 대충 조화 형식이라는 게 메인으로 나와. 조화 형식이 뭐냐면, [라플라스 연산자]의 고유값이 최소일 때의 그 해로 볼 수 있는 녀석인데, 먼말인지 좀 짜증나지?



라플라스 연산자 ㅡ> 열의 흐름을 수학적으로 기술로 보면 되고, 그 물리적 문제의 어떤 현상을 설명할 때 그 편미분방정식의 해를 구하는 거야.
근데 조화 형식은 그 고유값이 최소로 떨어졌을 때의 열적 흐름의 평형?에 가까울 거야.

이처럼 부드럽고 흐르는 연속적 해석적인 영역을, 대수기하학이라는 딱딱한 구조들로 설명하려면 정말난처하겠지?
그래서 많은 것이 고안되었음에도 불구하고 이 대수기하학과 그 실제 흐름의 실현과의 대응관계에는 큼직한 미해결 문제들이 박혀있어. 7대 난제인 호지추측도 그중 하나이고, 그로센딕이 고안했던 '모티브'라는 것도 이런 문제들을 다루려고 고안된 거야. 모티브는 양자장론과 자연의 물리상수, 자연수학상수들의 어떤 대수적 구조와도 (가설적으로) 관련되어있거든.

요컨대, 대수기하학이라는 현대수학의 거대한 분야는 그 자체로는 딱딱하고 구조적인 분석 위주인 것처럼 보이지만, 실제 계산에서는 그 딱딱한 것들을 어떻게든 연속적으로 계산하기 위해 부드럽게 펼치려는 모방 시도가 매우 중요해져(spectral sequence 등). 그로센딕 이후에 그렇게 유행해온 대수적 틀과 범주론의 틀도, 결국은 다시 쪼개서 부드러운 흐름의 과정으로 귀결시켜야 뭔가 현실적으로 의미있는 걸 논할 수 있다는 얘기야. '틀'만으로 세상을 전부 설명하려는 시도는 결국 그 틀이라는 박제 행위의 한계에 갖힌다는 거지.. 그래서 토포스가 필요한 거임.

ㅡ조화 형식도, 그 자체로는 대수기하학과 결부될 때 그저 딱딱하게 대수적 미분으로 정의되는 어떤 '굳어진 대상'이지만, 이건 실제로는 열의 흐름(라플라스 연산자의 작용)이 시간이 매우 많이 흘러 거의 평형에 이르렀을 때의 최종 근사에 대응하는 거야. 즉, 조화 형식이라는 고정적 존재가 우선하는 것이 아니라 열 방정식을 따르는 흐름 속에서 그 존재가 최종적으로 열적 평형의 변화 종료로써 정당화되는 것이고, 이런 흐름의 역사를 고려 안 하고 조화 형식 그 자체만 보면 많은 정보가 유실되어있겠지?



ㅡ유체역학, 정전기학, 열전도 등 물리학 및 공학적 문제를 해결할 때 자주 나오는 조화함수와 등각사상이란 게 있어여. 물리 문제를 2차원 문제로 바꿔서 보는 건데 이게 복소해석학이 현실에서 무엇인가에 대해 쵸큼 저만의 망상이지만 좋은 sense를 알려줌.

복소해석학은 복소수 평면(or 리만 곡면)의 구조상 2차원적이고 현실과 무관해보이지만, 세계 흐름의 최종 근사에 따른 열적 평형 등의 귀결은 바로 그러한 저차원적인 최소한의 대칭만으로 설명될 수 있는 것이라고 보는 거심. 조화함수, 등각사상 이 2개가 결국 2차원 물리 문제에 쓰이거든. 실제 우주는 2차원이 아니지만, 흐름으로 세계를 보면 특정한 시간 영역의 상태들은 그렇게 수학적으로 근사가 가능함.
 

등각사상이 왜 복소해석학에서 중요하냐면, 복소해석학에서 미분 가능한 모든 복소함수(해석함수라구함)는 국소적으로 등각사상임.
즉, 변환의 가짓수가 무한대(무한 차원 대칭성)가 되어 물리 체계가 완벽하게 구속됨(저는 물리풀이쪽 개념 생각해서 Solvable하다고 말하기도 함).

글구 복소해석학에서 제일 씹사기 스킬은 residue를 다루는 종류인데, 이게 머냐면
예를 들어 무한대로 발산하는 특이점(빅뱅이나 블랙홀 특이점 머 이런거잇자나여) ㅡ> 복소해석학에서 지지고 볶고 적분 변환 등 거치고 나면, residue라는 특수한 수학적 점의 '유한하고 미분가능한' ㅅㅌㅊ 정보들로 변하게 됨. 요컨대 수학적으로 다룰 수 없고 물리적으로도 뭐야 ㅅㅂ 싶은 것들을 유의미한 정보들로 바꿔서 계산이 가능해짐! 저도 연구때 이런 작업들을 중요부분에서 썼었음.
 

이렇듯 '딱딱한 것을 주물러서 부드럽게 흐르게 만들기'는 수학적으로 고정적인 '대상'들에 있어서 대상 그 자체가 아니라 대상들 사이의 관계와 그 작용의 방향성을 보게 하는 식으로 패러다임을 바꿔요. 그러나, 그러한 작용에는 군으로 설명되는 대칭성 등 여전히 '구조'가 그 흐름이 멋대로 폭주하지 않게 기본적인 틀을 잡구이씀. 그러니깐 우주는 완전 맥락없는 변화의 소용돌이가 아니라, 국소적으로는 그렇게보여도 세계 전체를 보면 거대한 질서와 구조 아래 혼돈이 시간 흐름 속에서 변화하는 양상임.

헤겔 수학에서 나오는 [양]과 [질]을 생각해볼게여.
이건 그냥 비유하자면 양=이산 / 질=연속인 거심.
전자가 우리가 인식하는 고정적 표상들의 가산적인 세계이고, 후자는 토포스로서의 연속적인 세계 흐름 그 자체의 순수한 형태임.
고정하는 순간 양적개념이 되는 것이지, 본질은 Quantity가 아니라 우리의 인식 너머에 순수하게 그 자체로 존재하는 Quality임! 
먼가 고전 논리적 판단 이전의 순수 '질감'? 느낌임. 붓다가 보는 우주랑 비슷하기도 함. 순수 현상? 몰라여 낙지먹고싶다빨간양념 ㅅㅂ 해물볶음에우동에 맞선임이랑 갔던곳 진짜맛잇엇는데

헤겔 수학에서는

flat, sharp, shape ㅡ> 이렇게 흐름의 변화 양상을 분류하기도 하는데, 이걸 구체적인 수학모델에서 어떻게 설명할 수 있는지도 나중에 기회되면 마저 쓸게 그러면 얘기가 근데 할 게 더 늘어남.


 

[순수 존재]와 [무]의 구별 불가능성과 그 사이의 생성과 흐름이라 해야할까. 동양철학의 음양과 비슷하기도 하고..
결국 토포스는 '이거 아니면 저거'를 일단 내려놓고 흐름 자체를 보니깐 말야. 그 위에 맥락적 판단들이 시간 속에서 국소적으로 있는 것이고. 토포스는 그걸 이어붙여서 역사를 보편 지식 획득을 위해 진행시키는 거임.

ㅡ사실 내가 자주 쓰는 모델에서는 아예 우주 자체가 손실 함수로 정답을 찾는 딥러닝 학습의 일종이기도 해. 그래서 세계 자체가 보편 지의 획득 과정이라는 헤겔의 관념적인 세계 모델이 그렇게까지 개망상도 아닌 거임
 

그리고 칸트가 지적한대로 자아나 자유의지, 영혼, 신 등의 형이상학적 관념들에 대한 고전 논리적 판단을 할 때에 나타나는 원론적인 한계는
이러한 토포스적 우주관, 헤겔적인 맥락에서 볼 때 정적인 고정을 통해 묘사하려는 문제에서 비롯된 것일 수 있어. 
물론 칸트는 그 한계에 대해 지적했을 뿐 그것이 어떻게 극복될 수 있느냐에 대해서는 딱히 제안하지 않았던 것 같지만 잘몰라 나 철학자아님



(씹테토남 아재들 와꾸 ㅈㄴ 살벌하지?
칸트 결혼썰 들어봤어? 고백받았는데 7년동안 장단점 분석 연구하다가 답장주러갔더니 이미 다른 남자랑결혼해서 애까지뱄대
그래서 그냥 쿨하게 자기 연구하다가 뒤짐. 뉴턴도 섹스한번도 안해봤고 맨날 종말론 연금술연구하는 도라이였대
미친놈들이지? 아마 딸딸이도 안 쳤을 거야 씹빨 그정도는 돼야 우주 어쩌고 연구하나봐 난 오늘도 딜도빨면서 신음냈다 ㅂ1ㅅ)



사실 화이트헤드라는 논리학자/수학자도 [과정철학]으로 세계를 '과정과 그 끝에 도달하는 실재'로서 분류했고, 토포스 자체가 저번 글에서 범주론적으로 썼듯 관계, 맥락적인 유기망을 통해서 전체를 함께 바라보아야 하는 거야.

그리고 인간의 욕망을 연구하던 라캉 아재가 쓰던 실재 개념이나 기타 이론들도 사실 이런 관점들의 맥락에서 어느정도 새롭게 바라보는 게 가능해 재밌겠지?
근데 유튜브나 어디 커뮤에서 그런 얘기하면 정신병자라고 개잡듯 뚜드려패니깐 조심해야 해 
원래 재밌는 거 하려면 좀 얻어처맞고 욕도 좀 먹고 살아야 해 왜냐면 절차랑 룰 다 지키면 그냥 끌려가거든. 비약이 좀 필요함 근데 그 비약으로 감투질 하려고 하면 아마 세상이 족치겠지?

잠깐! 토포스 자체는 논리학과 범주론의 개념이라서, 이게 실제 우주를 기술하기에는 너무 추상적이지 않냐는 지적이 있을 수 있어.
근데근데 사실 물리쪽에서 우리가 '점'이라는 고정적 표상의 힘 상호작용을 계산할 때 쓰이는 디랙 델타 함수라는 게 있거든?
이 애는 함수가 아니야. 분포야. 그리고 분포를 불연속점에서 미분하려면 부분적분, 약해 등 우리가 아는 미분과 편미방 풀이의 상식을 깨부수고 좀 방식을 tricky하게 뒤틀어야 해. 그런데 그게 실제 유기체적인 연결관계망으로서의 세계에 더 가까워. 애초에 우리가 아는 수학이나 물리학 자체가 인간 인식에 이해하기 쉽게 편향된 약식 서술에 가깝기도 하고.

요컨대, 디랙델타 같은 분포 이론이 말해주는 바는, '그 점, 그 고정 위치라는 인식점에서 펑!하고 계산되는 게 아니라, 가우시안 열 흐름과 같은 매끄러운 가상의 우주 전체의 유기적 흐름이 그 점으로 극한되면서 디랙 분포와 결합하여서 그 점이라는 가상에 대한 정보를 준다'라는 거야.
저번 글에서 요네다 보조정리에서 한 얘기랑 비슷하지? 고정적 대상에 대해 안다는 건, 그 대상이 다른 모든 것과 맺은 관계에 대해 아는 것과 동치이다. 



부처의 인드라망 개념이나 신-우주 전체-인간의 범신론적 유기망 개념 등 여러가지가 이렇게 수학적인 측면에서 설명이 가능해.
애당초 우주 자체가 전부다 하나로 연결되어있는 거야(그럼 그 근원의 궁극적 대상이 실재한다는 말일까? 신학 논쟁에 온 걸 환영한다 이기)

병신 같은 말이긴한데 수학이랑 물리학 조올라 딥하게 파다보면 ??? 싶은 상식의 파괴를 경험하게됨.
그리고 왜 그게 우리 인식에서는 개소리처럼 들리는지 어떤 lock들에 대해서도 나중에 썰풀어줄게. 결국 그게 다 Unitarity가 깨지지않게 인과율을 존속시키고 우주 역사를 완전 보존, 리플레이 가능하게 하기 위한 보정의 한계들이거든. 여기서 상대성 이론 같은 물리 얘기도 나옴. 쉽게말해 우주의 정보 처리에 어느정도 과정적 절차의 속도 보정 등의 lock이 있어야 동시 에러가 안 뜨고 인과 기록이 지켜진다는 거야. 책쓰다가 갑자기 앞에 쓴 내용들이 완전히 바뀌어서 뒷내용이랑 모순되면 그딴 거 아무도 안 읽겠지?

근데 이 글과는 별개로,
인간 중심의 정적인 고정 인식(고전논리, 집합론)과 인식 기저의 동적인 세계 그 자체의 흐름(토포스와 직관주의 논리, 맥락에 의존하는 진리와 그 보편성 승격 운동, 부정의 운동과 헤겔적 우주관)을 구분했을 때
도대체 그 둘이 어떻게 서로 연결되고 작용하는지는 수학 얘기를 쵸큼 해야 함. 둘의 상호작용이 전부 고려되어야 우주 역사, 헤겔 세계관이 설명이 되거든.

그니깐 어째서 수학적 이데아가 있고, 그 현상인 물리 세계의 흐름(역사 과정)이 있고, 그 다음에 우리가 '인식'하는 고정적 판단의 인식 세계
이렇게 3개가 어떻게 수학적으로 상호호환하는지에 대해서 얘기해야 하는데, 실수 체계에서 선택공리를 약화시킨 뒤에 위상수학적인 얘기를 해야 해.
여기서부터는 조올라 수학 얘기만 씨부렁대야대서 아무도 안 읽을 것 같아서 일단 그만할게. 내 블로그에 연구파일보면 수학적 플라톤주의 어쩌고 파트에 있어

다음에는 지옥이랑 낙원 얘기도 할게. 종교 얘기는 아니고, 본격적으로 내가 쓰던 모델들 대략적으로 설명하면서
거기서 무한시간지연 무한온도 인식이라는 지옥이 어떻게 언제 수리물리학적으로 활성화되고, 낙원이 수학적&물리학적으로 어떤 state인지도 얘기해줄게
정보기하학 개념이 좀 많이나올거야. 엔트로피가 그짝이 원본이라서. 

다음 글부터는 아마도 토포스의 그러한 헤겔적 우주 역사를 구체적인 물리적 개념들? 미분기하학 정보기하학 대수위상 등등 어떻게 다룰 수 있는지를 얘기해볼 거야
이게 내 작업들의 메인 테마이기도 하고.

잠깐만 저번에쓰던글 하나만 더 마저올릴게.. 요즘 쪽잠자고 기억력이 낮아져서 시간감각이없다 대충올림 ㄱㄷ

나 수학이랑 물리 얘기 최대한 뺀 거야 게이들아 
나 씨빨 미움받기싫어서 진짜 노력한 거야 원래 이런 식으로 딱딱한 글싸는 새끼도 아냐 

나 책도 안 읽고 머 커뮤에다 꺼드럭대면서 논리토론키배 뜨는 일에 관심도없어 씨1발 그런데가면 조울증정신분열웅앵웅연기 몇문장씨부렸다고 바로 차단박히고 정신병자라고 내쫓는다고 아예 짐승취급이야

나 아이큐 69 한남인데 나 엉덩이 크다 너네 고추크냐 시1발
나 좀 사랑해줘 사랑못하면 싫어하지라도 말아줘 나도 좀 인간으로 살아보자 순댓국먹고싶다