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가형 게이들은 익숙하지? 18수능 21번인데 안그래도 답개수도 깨져서 오답이 많았던 문제지.

사실 수능 문제는 꽤나 사고하는 법이 정형화 되어있어. 

이 문제도 마찬가지인데, 시험장에서 쉽게 안풀리더라고. 

그래서 차분히 눈감고 생각했지. 

과거 기출문제 중에 비슷한 사고를 요하는 문제는 없는가하고(주관적으로 느끼기에 11수능 17번이 떠오름). 

그렇게 한 1분 동안 생각하니 ‘아 추론해서 풀라는 의미구나’하는 걸 깨달았고 쉽게 답을 냈지.

사실 모의고사는 잘 보다가 특히 수능에서 조지는 얘들이 많은데 생각하는 법에 익숙하지 못해서 그렇다고 봐. 

문제가 안풀리면 생각을 해야 하는데 그냥 단지 ‘어떻게 풀지? 시발 ㅠ’ 이런 식으로 발만 동동 구르고 시간은 가고 머리는 뇌정지가 오고. 

그래서 결국 못풀고. 

문제가 잘 안풀리면 잠시 펜을 멈추고 생각해야해. 무작정 ‘시발 어떻게 풀지ㅠㅠ’가 아닌 체계적인 루틴으로. 

물론 단지 이러한 생각하는 틀을 안다고 해서 문제가 술술 풀리는 건 아니지. 

중요한 건 여러 문제를 풀고 생각의 틀을 적용하면서 너 자신의 수학적 사고력을 높이는 거야.

이제부터는 특히 킬러문제나 어려운 4점 문제를 대하는 생각의 태도에 대해서 글을 써보려고 해.

기본-먼저 문제를 관찰, 추리해 보자.

아까 위의 문제처럼 길고 어려워 보이는 문제를 보면 ‘좆됐다. 시발 이걸 어떻게 푸냐’ 하는데 

그럴수록 침착하게 머릿속에서 필요한 개념을 정리해보고 사용할 생각의 도구를 정리하자. 

‘생각의 도구가 뭔데? 시발’ 할 수 있는데 글을 다 읽고 나면 알게 될테니 일단은 넘어가자. 

배운 생각의 도구중 어떤 것을 적용해야하나 하는 단계야. 

즉 문제를 읽으면서 어떻게 풀어야 좋을지 가닥을 잡는 거야. 여기에서 가장 중요한 것은 쫄지 않기. 

즉 모든 문제는 교과서 개념으로 풀린다 하는 것을 머릿속에 강하게 인지한 채 문제풀이에 임하는 것.

또한 양수나 실수 조건, 수의 범위등 문제를 푸는데 필요한 조건들을 체크하자.(진수 조건, 루트, 분수조건)

이제부터 기술적인 사고법에 대해 설명할게.

처음 보는 조건, 상황, 실수 t에 대한 새로운 함수 설정 등등에 대하여

수능에서는 수학적 추리력을 요구하는 문제가 나오는데 이러한 문제에 대한 사고법을 배워보자.

『추론 능력은 나열하기, 세어보기, 관찰 등을 통해 문제 해결의 핵심 원리를 발견하는 능력, 

유추를 통해 문제 해결의 핵심 원리를 발견하는 능력, 

수학의 개념·원리·법칙을 이용하여 참인 성질을 이끌어 내거나 주어진 명제의 참·거짓을 판별하는 능력, 

주어진 정의를 이해하고 참인 성질을 이끌어 내는 능력, 반례를 들어 주어진 명제가 거짓임을 판단하는 능력 등을 의미한다. 

조건 명제의 증명, 삼단 논법에 의한 논리적 추론, 

반례에 의한 증명, 모순법, 동치 명제의 증명, 수학적 귀납법에 의한 증명 등을 이해하는 능력과 

주어진 증명을 읽고 결론을 도출하는 능력 등도 이에 해당한다.』

위는 평가원에서 밝힌 수학적 추론 능력에 대한 글이야. 

여기서 중요한 것은 ‘나열하기, 세어보기, 관찰 등을 통해 문제 해결의 핵심 원리를 발견’ 인데 

즉 너희들이 처음보는 함수라든가 아까 위에서처럼 실수 t에 대해 어쩌구 하는 문제들에서는 

대입이나 관찰을 통해서 문제의 핵심을 파악해야 한다는 거지.

위의 문제를 다시 예로 들자면

f(x)=-t+lnx에 대해 h(t)를 정의하고 있는데 여기서는 t값을 계속 대입, 변화시키면서 h(t)를 파악해야 한다는 거야. 

이 때 숫자 1을 대입하고 그래프 그리고 2를 넣고 그래프를 그리고 이런 식으로. 

겉보기에는 이게 무슨 수학이냐고 할 수 있는데 사실 이 부분이야말로 평가원이 원하는 바야. 

그런데 사실 이 부분은 내가 크게 도움을 줄 수 있는 게 없어. 

이 추론능력 자체가 자신이 여러 문제를 풀면서 대입하고 또 관찰하면서 키워야 하는 것이거든. 

풀어보기에 좋을 문제는 16학년도 6월 모의평가 가형 30번이야.

변환에 대하여

수학문제를 풀다보면 변환을 자주 써야하는 상황이 와. 

아니 어떻게 보면 수학실력 자체가 이 ‘변환’을 얼마나 잘하냐에 따라 달려있다고 봐도 무방할 정도로 이 변환은 중요해. 

말하자면 수학적 표현을 말로 변환하기, 말을 수학적 표현으로 변환하기, 

또한 식의 변환을 통해 원하는 조건을 끌어내기 등 몇 개가 있는데 

이러한 변환에는 크게 2가지가 있어.

1.문제 상황 변환

설명하기에 앞서 수학 문제를 푸는 가장 기본적인 태도가 뭐라고 생각해? 

내 개인적인 의견이기는 하지만 나는 ‘어떻게 하면 이 문제를 쉽게 풀 수 있을까?’라고 생각해. 

즉 어려운 문제를 어렵게 풀면 안되고, 어려운 문제를 어떻게 쉬운 문제로 바꿔서 풀 것인가. 

이게 키포인트라고 생각해. 

그리고 그 변환의 도구는 교과서적 개념이 기본이고.

사실 이 부분을 자세히 파고 들어가면 끝이 없기 때문에 간단하게만 설명하고 넘어갈게.

-다른 개념으로 변환

여러 가지 있지만, 일단 기하 문제를 대수적인 방법으로 푸는 게 있어. 

게이들도 이런 문제는 많이 보았을 거야. 또한 경우의 수 문제에서 문제를 분석하다 보니 알게 되었는데, 

장황하게 한글로 문제를 표현해 놓는데 이걸 수학적인 표현으로 바꾸는 게 중요하더라. 

막 어렵고 어떻게 생각해야 좋을지 모르는 경우의 수 문제를 풀 때에도 

이걸 어떻게 내가 아는 다른 문제들의 합으로 나타낼까를 고민 많이 했어. 

즉, 새로운 문제라고 받아들이기 보다 아는 문제의 합으로 표현하는 능력. 

결국 문제도 사람이 내는 거고 그게 그거더라.

-3차원을 2차원으로

기벡 문제를 푸는데 있어서 많은 게이들이 어려워하는 공간도형, 벡터에서 자주 쓰여. 

3차원의 문제 상황을 있는 그대로 받아들여 풀기 보다는 단면으로 쪼개서 푸는 거야. 

한 방향으로만 자르는 것이 아니라, 여러 방면으로 잘라서 여러 개의 단면을 만든 다음 그 2차원을 가지고 문제를 푸는 거야. 

사실 이 부분은 많이 알려져서 그닥 쓸게 없긴 해.

몇 개 더있긴 한데 글로 쓰기에는 애매하고 과외라도 해서 알려주고 싶긴 한데 미안.

2.식의 변환, 정리(치환이 자주 쓰임)

사실 내가 수학 공부법 보면서 듣는 좆같은 말 중에서 

‘개념이 부족해서 틀림 ㅂㅅ들아’ 이게 가장 좆같았어. 

솔까 가형 3등급 이상은 개념을 몰라서 틀리는 경우는 없잖아. 

단순히 개념문제가 아닌 거 같다고 느꼈어. 

한편 입시 사이트에서 가만히 살펴보니 식 정리를 어떻게 해야 할지 몰라서 손도 못댄체 틀리는 경우, 

어버버 하다가 틀리는 경우가 많더라고.

이 문제를 푸는데 방정식을 어떻게 정리하느냐에 따라 문제가 쉽게 느껴지느냐 어렵게 느껴지느냐가 갈렸던 거 같아. 

식을 정리할 때에도 중요한 점은 항상 ‘어떻게 하면 쉽게 풀 것인가’라고 생각해. 

즉 위의 문제에서 f'(g(x))를 그냥 두기에는 k 때문에 그래프를 그리려고 해도 그리기가 힘들어. 

내가 이 문제를 처음 풀려고 할 때에 f'(g(x))의 그래프를 그리려고 했는데 어렵더라고. 

그래서 바로 생각을 바꾸었어. 

이 문제에서 k가 조금 거슬리니까 f'(x)를 풀어서 푸는 게 좋겠다. 

f'(x)는 k값이 없는 상태이니까.

식을 변환하는 방법은 크게 3가지로 나뉘어.

-정의, 공식을 사용할 수 있는 형태로 바꾸자

누누이 말하지만, 수학의 기본은 어려운 문제를 쉬운 문제로 바꾸어서 푸는 거라고 생각해. 

여기에서 쉬운 것에는 ‘우리가 아는 것’도 포함되지. 

즉 어떠한 모르는 식이 나왔으면, 그 식을 우리가 아는 ‘정의, 공식’등이 사용될 수 있도록 변형을 하자.

예를 들어 를 변형한다고 해보자. 

이 식은 단순히 빼기라고 볼 수도 있지만, 우리가 배운 미분이나 적분 개념으로 변형한다고 하면?

이는 미분을 고려한 식의 변형이고,

이는 적분을 고려한 식의 변형이야. 

볼 수 있듯이 식을 변환하는 행위는 자연스럽지 않지. 

그러니까 어려워 보이는 식을 보면 어떻게 하면 정의나 공식을 쓸 수 있는 형태로 변환할 수 있을지 고민해 보자.

-미지수를 없애거나 줄이는 방식으로 변환하기

저 위의 문과 30번 문제를 보아도 어려운 4점에서는 k나 t등 알 수 없는 미지수가 나오는 경우가 많아. 

이럴 때는 혹시나 이런 미지수를 없애거나 줄이는 식으로 변환할 수 있을지 고민해보자.

작년 6월 평가원 29번 문제야. 식 정리가 꽤나 중요하게 작용하는 문제라서 가져와 봤어.

이 문제는 위의 첫 번째 식 변환 방법도 쓰이니까 한 번에 설명할게.

개념 공부를 하다가 보면 이런 식 많이 봤을 거야(미래엔 교과서 p90)

이 때, (나)조건을 보고 위 교과서에 나오는 식을 떠올리면 되는 거지. 

문제는 이게 쉽지가 않다는 거야. 

그래서 우리에게 중요한 것은 식을 보고 그 식에서 의미를 찾을 수 있는가, 

변형을 통해 우리가 아는 어떤 것으로 바꿀 수 있는가. 

이건 연습을 많이 해야겠지.

아무튼 위에서 구하는 m의 최솟값은 로 표현할 수 있고 

이 때, 다시 정리하면 이 되는 거지.

근데 여기서 한 가지 더 설명할게 있어. 어째서 을 쓰는 걸까?

사실 이 문제에서 을 이용해서 풀려는 사람들도 있었어. 

근데 문제를 풀어보면 알겠지만 이 경우 상당히 복잡하게 되어서 꼬이게 되지.

이유는 알다시피, P점이라는 미지수를 없애서 단순히 선분 AB로 나타내기 위함이야. 

즉 우리가 알지 못하는 요소를 없애는 형태로 식을 변환한거지. 

미지수를 제거하는 형태로 식 변환을 했다고 보면 돼.

-주어진 조건을 활용하여 식을 변환하기

17학년도 9월 모평 가형 21번 문제야. 

이 문제도 식 변환이 꽤나 중요했던 것 같아. 

항상 그랬듯이 문제를 보면 쫄지 말고, 생각해 보자. 

여기에서는 (나)조건 식을 변형할 때 (가)조건을 이용하면 훨씬 쉽게 문제가 풀려. 

의 인테그랄 안의 f(t)를 로 변형하는 거야. 

확실히 부자연스럽지만, 이는 (가)조건을 활용하기 위함이야.

이렇게 크게 3가지 식 변형 방법을 알아보았는데 

문제에 따라서는 이 모두를 활용하는 경우도 있으니까 

식을 어떻게 건들어야 할지 난감한 게이들은 항상 위 모두를 생각하면서 문제를 풀자.

경우의 수

경우의 수 하면 많은 게이들이 순열 조합을 떠올릴텐데, 

여기서 설명하고자 하는 경우의 수는 꼭 순열조합뿐만 아니라 흔히 어려운 킬러문제에서 자주 쓰이는 사고법이야. 

즉 불확실한 경우나 미지수가 포함된 경우 흔히 나올 수 있는 경우의 수를 고려하여 문제를 푸는 것이지. 

이런 종류의 문제는 보통 1,2,3의 경우가 나오고 그 중 1,2를 제외한 3의 경우만 문제의 조건에 부합하여 답으로 확정하는 방식이야. 

그리고 이 때, 귀류법적인 사고가 자주 쓰여. 예를 들어 1번 경우의 수를 제거할 때, 

1번이 맞다고 가정한 후 문제를 풀다 보면 그 경우가 주어진 조건에 불합하거나 

기본적 루트나 분수의 정의에 어긋나는 경우가 나오는데, 

이로 인해 1번은 답의 조건에 어울리지 않는다 라고 결론을 내는 방식이야. 

다들 아는 내용이지만, 특히 킬러 문제를 풀 때에는 이 귀류법적 사고가 자주 쓰인다는 것을 유념해 주면 좋겠어.

현장에서 꽤나 쉽게 풀고 넘어갔던 문제야. 

문제를 풀다보니 귀류법이 쓰인다는 것을 발견해서 경우의 수를 나눈 다음 

차근차근 조건에 맞지 않는 경우의 수를 지웠고 정답을 도출해 내었어. 

이 귀류법은 특히 문과게이들에게는 유용한데 다항함수의 미분에서는 거의 쓰인다고 봐도 좋아. 

함수의 그래프를 그린다음 조건에 부합하는 함수를 찾는데 도움이 되지. 

비록 간단한 개념이지만, 머릿속에 유념한다면 킬러 문제를 푸는데 강력한 도구가 될 거야. 

풀어 보면 도움이 되는 문제는 17학년도 수능 가형 30번, 11학년도 수능 가형 24번 등등이 있어.

사실 설명하고 싶은 도구가 몇 개 더 있긴 한데 글로 쓰기가 어려워. 

또 각 단원 별 생각의 도구도 정리해 놓은 게 있는데 이거 다 쓰면 글이 너무 길어져서 일단은 공통적인 사고법만 정리해 보았어. 

써놓고 보니 별거 없네.

한 가지 당부하고 싶은 것은 수학 문제를 풀 때, 무작정 ‘어떻게 풀지?’ 가 아닌 체계적으로 생각하는 습관을 들였으면 해. 

항상 교과서적 개념을 우선시하고.

마지막으로 어려운 문제는 쉽게 풀자. 

위에 도구들도 결국 어려운 문제를 어떻게 하면 쉽게 풀 수 있을까를 생각해낸 것이니까.

마지막으로 이 글을 보는 게이들 올 한해 수능 대박나길 바란다.